Lineare Algebra Beispiele

$- \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{545}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}} + \frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{545}}$

Schritt 1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{256} + \sqrt{1024}}{\sqrt{545}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$\frac{- \sqrt{16^{2}} + \sqrt{1024}}{\sqrt{545}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 1 \cdot 16 + \sqrt{1024}}{\sqrt{545}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{- 16 + \sqrt{1024}}{\sqrt{545}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 2.4

Schreibe $1024$ als $32^{2}$ um.

$\frac{- 16 + \sqrt{32^{2}}}{\sqrt{545}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 16 + 32}{\sqrt{545}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 3

Addiere $- 16$ und $32$ .

$\frac{16}{\sqrt{545}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{16}{\sqrt{545}}$ mit $\frac{\sqrt{545}}{\sqrt{545}}$ .

$\frac{16}{\sqrt{545}} \cdot \frac{\sqrt{545}}{\sqrt{545}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{16}{\sqrt{545}}$ mit $\frac{\sqrt{545}}{\sqrt{545}}$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{\sqrt{545} \sqrt{545}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $\sqrt{545}$ mit $1$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{{\sqrt{545}}^{1} \sqrt{545}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $\sqrt{545}$ mit $1$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{{\sqrt{545}}^{1} {\sqrt{545}}^{1}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 \sqrt{545}}{{\sqrt{545}}^{1 + 1}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{{\sqrt{545}}^{2}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.2.6

Schreibe ${\sqrt{545}}^{2}$ als $545$ um.

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Schritt 4.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{545}$ als $545^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{16 \sqrt{545}}{{(545^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \sqrt{545}}{545^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16 \sqrt{545}}{545^{1}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{109}}$ mit $\frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}}$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{109}} \cdot \frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}}$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{109}}$ mit $\frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}}$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{109}}{\sqrt{109} \sqrt{109}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{109}$ mit $1$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{109}}{{\sqrt{109}}^{1} \sqrt{109}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{109}$ mit $1$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{109}}{{\sqrt{109}}^{1} {\sqrt{109}}^{1}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{109}}{{\sqrt{109}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{109}}{{\sqrt{109}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{109}}^{2}$ als $109$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{109}$ als $109^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{109}}{{(109^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{109}}{109^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{109}}{109^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{109}}{109^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{109}}{109^{1}}$

Schritt 4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{5} \sqrt{109}}{109}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{109 \cdot 5}}{109}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $109$ mit $5$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{545}}{109}$

Schritt 5

Um $\frac{3 \sqrt{545}}{109}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{545}}{109} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $545$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{545}}{109}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{545} \cdot 5}{109 \cdot 5}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $109$ mit $5$ .

$\frac{16 \sqrt{545}}{545} + \frac{3 \sqrt{545} \cdot 5}{545}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 \sqrt{545} + 3 \sqrt{545} \cdot 5}{545}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{16 \sqrt{545} + 15 \sqrt{545}}{545}$

Schritt 8.2

Addiere $16 \sqrt{545}$ und $15 \sqrt{545}$ .

$\frac{31 \sqrt{545}}{545}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{31 \sqrt{545}}{545}$

Dezimalform:

$1.32789410 \dots$